Экстраполяции поля

Принципы

В основе лежит метод экстраполяции сеточных моделей геофизических полей методом конечных разностей [1]. Сам метод не имеет физической основы, однако имеет некоторые свойства, полезные для дальнейшей обработки поля другими методами.

Для точек сетки сеточной модели поля искусственно ставится ограничения на частные производные, сформулированные в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Применение метода конечных разностей продуцирует систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая далее решается итеративным или явным методом. Результат решения СЛАУ - экстраполированное поле, записываемое в свойство результирующей ТОС.

Доступные уравнения в частных производных

Доступно три уравнения:

Уравнение Лапласа $Δ f = \frac{d^{2} f}{d x^{2}} + \frac{d^{2} f}{d x^{2}} = 0$ .

Бигармоническое уравнение: $Δ^{2} f = \frac{d^{4} f}{d x^{4}} + \frac{d^{4} f}{d x^{4}} + 2 \frac{d^{4} f}{d x^{2} d y^{2}} = 0$ .

Уравнение "сумма четвёртых производных" $\frac{d^{4} f}{d x^{4}} + \frac{d^{4} f}{d x^{4}} = 0$ (не рекомендуется).

Как видно, оба уравнения определены в двумерной среде (плоскости). При этом, например, согласно законам физики, уравнение Лапласа имеет место быть в трёх измерениях для первой производной гравитационного потенциала, но не в сечении плоскостью. Ограничение на равенство нулю суммы четвёртых производных в сечении плоскостью также не имеет физической основы.

Экстраполяция данным методом с помощью уравнения Лапласа продуцирует поле, которое имеет разрыв первой производной в области стыка областей точек сетки с имеющимися данными и областей точек с отсутствующими данными, однако первая производная вне этих границ является непрерывной, что является общим свойством решений уравнений Лапласа на сеточных моделях.

Экстраполяция через бигармоническое уравнение продуцирует поле с непрерывной первой производной даже на границах областей с имеющимися и отсутствующими данными, но вычислительно более трудоёмка и численное решение намного медленнее сходится.

Связность краёв - важное свойство при использовании экстраполированного поля в дальнейшей обработке методами, основанными на преобразованиях Фурье (ДПФ). При соединённых краях указанные уравнения также действуют и на границах экстраполированной ТОС, при этом за соседние точки берутся точки, находящиеся с другой стороны сетки. В результате получается сетка, имеющая топологию тора, и периодическое (циклическое) поле. Последнее свойство, в свою очередь, подавлеет краевые эффекты при использовании методов, основанных на ДПФ. Однако при использовании связанных краёв появляется новое, возможно, нежелательное свойство - слом тренда. Если исходное поле содержит тренд, то в области экстраполяции он будет развёрнут в противоположную сторону, чтобы компенсировать большую разницу в значениях свойств на противоположных концах исходной сетки. При наличии сильного тренда рекомендуется заранее производить редукцию поля вычитанием полинома как минимум первой степени: $\hat{f} (x, y) = f (x, y) - P (x, y) : P (x, y) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} y, | P (x, y) - f (x, y) |_{2} \to m i n_{a_{0}, a_{1}, a_{2}}$ .

Иллюстрация

На следующем рисунке проиллюстрирован метод экстраполяции на гравитационном поле. Одна и та же сетка изображена дважды, и одно из изображений смещено относительно другого на величину сетки.

На рисунке 1а) изображено исходное поле, на рисунке 1б) изображено поле с экстраполяцией без соединения краёв. В этом случае видно, что значения поля на краях экстраполированной сетки в общем случае далеки друг от друга и никак не связаны. На рисунке 1в) экстраполированные значения на краях близки друг к другу, благодаря чему подавляются краевые эффекты.

Рисунок 1. Пример экстраполяции: а) исходное гравитационное поле, б) экстраполированное поле без соединения краёв; в) экстраполированное поле с соединением краёв.

Особенности программной реализации

Известно, что для уравнения "сумма четвёртых производных" метод решения СЛАУ сходится очень медленно, а для отсутствующей связности краёв производит неоптимальный результат. Для ускорения внедрена "пирамидальная схема", при которой строится множество сеток, представляющих из себя различные разряжениея исходной сетки по степени 2. Для самого сильного разряжения находится решение, которое интерполируется на следующую по силе разряжения сетку и используется как начальное приближение для итеративного метода решения СЛАУ. Такая схема даёт более качественное решение при ограничении на количество итераций, не сильно замедляя процесс поиска решения.

Если в дальнейшем планируется использовать экстраполированное поле в качестве входных данных для методов, основанных на дискретном преобразовании Фурье (то есть, над сеткой будут произведены дискретные преобразования Фурье), то для наибольшей вычислительной производительности рекомендуется выбирать такие величины экстраполяции, чтобы размеры сетки были равны степени двойки - например, 512 на 512, 512 на 1024 и др.

Параметры

Исходная ТОС 2D и исходное свойство - ТОС и имя свойства, содержащие исходные данные (поле).
Соединять края: при включённом флаге устраняется разрыв между краями ТОС. Для дальнейшего использования результата экстраполяции в алгоритмах, основанных на дискретных преобразованиях Фурье, рекомендуется включать этот флаг.
Максимальное количество итераций: ограничение на количество итераций. Некоторые алгоритмы (указываются в типе уравнений) могут совершать больше итераций, но количество итераций всё равно ограничено и

зависит от данного значения. Значение "-1" соответствует неитеративному методу решения СЛАУ.

Тип уравнений: тип уравнения для метода конечных разностей.
Величина экстраполяции - перед первым профилем, после последнего профиля, перед первым пикетом и после последнего пикета: количество присоединяемых профилей и пикетов к ТОС. Значения можно менять как перетягивая ползунок, так и напрямую в соответствующих полях графической формы. При включённом флаге Соединять края безразлично с какой стороны присоединять пикеты (профили).
Целевая ТОС 3D и целевое свойство - ТОС и имя свойства, в которые будет записано экстраполированное поле.

В качестве результирующей ТОС также можно задать существующую ТОС, если она совместима с исходной ТОС; при этом конкретное количество профилей и пикетов будет вычислено автоматически. Исходная и целевая ТОС совместимы, если можно указать количество пикетов и профилей (включая число 0), которые нужно присоединить к исходной ТОС, чтобы получившаяся привязка и размеры сетки совпали с существующей ТОС (с некоторой точностью).

Если к сетке не присоединяются новые профили и пикеты, то можно произвести экстраполяцию в исходную ТОС. В этом случае процедура является заполнением пропусков.

Количество профилей и пикетов, присоединяемые к ТОС, следует выбирать исходя из компромисса между временем, затрачиваемым на вычисление экстраполяции, и качеством подавления краевых эффектов, возникающих при дальнейшей обработке данных.

Ссылки на литературу

[1] С.В. Мицын, Г.А. Ососков "Экстраполяция сеточных моделей геофизичеких полей методом конечных разностей". Геоинформатика, №3, 2016, сс. 29-34